Gedanken zur klassischen Mechanik ed
Nochmal von vorne...
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Ein freies Teilchen ed
langweilige Koordinaten ed
Einfachster Fall: kartesische Koordinaten x mit üblicher Zeit t.
Die Langrangefunktion ist \( L(x, \dot{x}) = \frac{m}{2} \dot{x}^2 \)
Die Impulse sind \( p_i = m \dot{x}^i \)
Die Hamiltonfunktion ist \( H(x, p) = \frac{1}{2m} p^2 \)
Und die Wirkung einer Bahn \( S[\gamma] = \int_\gamma L(x, \dot{x}) dt = \int \frac{m}{2} \dot{x}^2 dt = \int \frac 12 p_i dx^i = \int p_i dx^i - H dt \) mit der Beziehung \( \dot{x}^i dt = dx^i \)
- nun eine relativistische Näherung
Relativistisch betrachtet ist \( H = E = p_0 / c, \quad dt = c \, dx^0 \) und somit \( S[\gamma] = \int_\gamma p_\mu dx^\mu \)
und damit auch \( S = m \int u_\mu dx^\mu = m \int u_\mu u^\mu d\tau = m \, c \int ds = m \, c \, \mathrm{Len}(\gamma) \) (die Wirkung ist die 4d-Länge der Bahn). Vorallem ist die Wirkung dann ein skalares Funktional der Bahn, also unabhängig von der Parametrisierung.