Gedanken zur klassischen Mechanik ed

Nochmal von vorne...

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Ein freies Teilchen ed

langweilige Koordinaten ed

Einfachster Fall: kartesische Koordinaten \( x \) mit üblicher Zeit \( t \) .

Die Langrangefunktion ist \( L(x, \dot{x}) = \frac{m}{2} \dot{x}^2 \)

Die Impulse sind \( p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} = m \dot{x}^i \)

Die Hamiltonfunktion ist \( H(x, p) = \frac{1}{2m} p^2 \)

Und die Wirkung einer Bahn \( S[\gamma] = \int_\gamma L(x, \dot{x}) dt = \int \frac{m}{2} \dot{x}^2 dt = \int \frac 12 p_i dx^i = \int p_i dx^i - H dt \) mit der Beziehung \( \dot{x}^i dt = dx^i \)

nun eine relativistische Näherung

Relativistisch betrachtet ist \( H = E = p_0 / c, \quad dt = c \, dx^0 \) und somit \( S[\gamma] = \int_\gamma p_\mu dx^\mu \)

und damit auch \( S = m \int u_\mu dx^\mu = m \int u_\mu u^\mu d\tau = m \, c \int ds = m \, c \, \mathrm{Len}(\gamma) \) (die Wirkung ist die 4d-Länge der Bahn). Vorallem ist die Wirkung dann ein skalares Funktional der Bahn, also unabhängig von der Parametrisierung.

interessantere Koordinaten, Differentialformen ed

2 Koordinaten zu wählen:

Bahn ist dann \( x^\mu(t) \) mit Tangentenvektor \( \dot{x}^\mu := \frac{d}{dt} x^\mu \)

Offensichtlich gilt weiterhin \( S[\gamma] = m \, c \, \mathrm{Len}(\gamma) \) , da dies von beiden Parametrisierungen unabhängig ist.

Definiere dann \( p_\mu \) so, dass auch \( S = \int p_\mu dx^\mu =: \int p \) gilt. \( p \) ist hierbei eine 1-Form mit Koordinaten \( p_\mu \) .

Ist \( t \) die Eigenzeit, so gilt \( p = m \, g(u, \cdot) \quad \Leftrightarrow \quad p_\mu = m \, u_\mu \) .

Mit allgemeinem Parameter gilt \( S = c \, m \, \int \sqrt{g(\dot{x}, \dot{x})} dt = c \, m \, \int \sqrt{g_{\mu u} \dot{x}^\mu \dot{x}^ u} dt \) und der Impuls ist \( p = c \, m \, g(\dot{x}, \cdot) / \sqrt{g(\dot{x}, \dot{x})} \) , wie man leicht nachrechnet, wenn man den Faktor \( \alpha := \frac{dt}{d\tau} \, \Rightarrow \, u = \alpha \dot{x} \) betrachtet.

Es kann auch wieder eine Lagrangefunktion \( \tilde{L}(x, \dot{x}) \) definiert werden durch \( S = \int \tilde{L} dt \) . Ein Vergleich mit der obigen Formel für die Wirkung zeigt: \( \tilde{L}(\dot{x}) = m \, c \, \sqrt{g(\dot{x}, \dot{x})} \) . Interessanterweiße gilt auch \( \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{x}^\mu} = m \, c \, g_{\mu u} \dot{x}^ u / \sqrt{g_{\alpha\beta} \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta} = p_\mu \) .

Für eine Parametrisierung in Eigenzeit ist diese Funktion (zumindest "on-shell") konstant \( = m \, c^2 \) .

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