Gedanken zum Energie-Impuls-Tensor ed

Fragen ed

Ein paar Mysterien/Lücken in meinem Wissen:

• was ist das fundamentalere Konzept für mechanische Systeme: Energie-Impulstensor \(T\), 4er-Impuls \(P\) oder Ruhemasse \(m\)?
• wie geht man mathematisch mit \(T\) um? (Tensor-Dichte?)
• Druck ist ein raumartiger Fluss von \(T\), was "fließt"?
• was ist Masse (=träge Ruhemasse)?
• trägt potentielle Energie zur Masse bei?
• warum ist Ladung ein Lorentz-Skalar, Masse nicht? (eher ein Problem inkompatibler Definitionen)

Mathematisch ed

Das Mathematische hat sich mit dem Buch Gravitation (Wheeler, Thorne, Misner) geklärt:\[ P_V = \int_V T \, dV \quad \Leftrightarrow \quad P_V^\mu = \int_V T^{\mu\nu} \, dV_\nu \]mit der vektorvertigen Volumen-3-Form \(dV_\nu = \frac{\sqrt{|g|}}{3!} \, \epsilon_{\nu\alpha\beta\gamma} dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma\). \(P_V\) ist dann der Fluss von 4er-Impuls durch \(V\) (was auch immer man sich darunter vorstellen sollte).

Wenn der \(\sqrt{|g|}\)-Faktor aus der Volumenform zum Integranden verschoben wird, wird das als Tensor-Dichte bezeichnet.

Fundamentalität ed

\(P_V\) ist für ein Fluidum vom Beobachter abhängig -- für bewegte Beobachter hängt \(P_V\) vom Druck ab, im Ruhesystem nicht (also nicht nur kovariantes Transformationsverhalten). Deshalb scheint mir \(P\) als ein Konzept, das nur für spezielle Fragestellungen von Sinn ist. Vielleicht können Systeme aber auf mikroskopischer Ebene allein durch \(P\) beschrieben werden und \(T\) entsteht makroskopisch durch Mittelung über Teilsysteme.

Masse ed

Physikalisch würde ich sagen, Masse ist der "Widerstand" gegen Beschleunigung im Ruhesystem.

Ladung besitzt größeren Widerstand, da Felder erzeugt werden, was aber auch konsistent dazu ist, Feld-Energie als Masse zu interpretieren. Andererseits ist es meist für Rechnungen sinnvoller, zwischen \(T_\mathrm{Materie}\) und \(T_\mathrm{Feld}\) zu unterscheiden. Dann sollte man aber auch zwischen der mechanischen Ruhemasse \(m_\mathrm{Materie}\) und der "Feld"-Masse \(m_\mathrm{Feld}\) unterscheiden, die man in \(T_\mathrm{Feld}\) hineininterpretieren kann. \(m_\mathrm{Materie}\) ist dabei unabhängig von Potentieller Energie, denn die steckt im Feld und damit in \(m_\mathrm{Feld}\).

(hmmm, zu naiv, sollte genauer betrachtet werden...)

%Demnach hätte aber auch schon ein einzelnes geladenes Teilchen ein \(m_\mathrm{Feld} \neq 0\) und damit ist sein \(m_\mathrm{Materie} \lt m_\mathrm{beobachtet}\).

Geschwindigkeitsverteilung ed

Einzelnes Teilchen ed

Ein Teilchen der Masse \(m\) und 4er-Geschwindigkeit \(u\) besitze über ein 3d-Volumen \(V\) (im Ruhesystem) gemittelt einen Energie-Impuls-Tensor\[ T_{(u)} = \frac mV \, u \otimes u = \rho \, u \otimes u \, . \]

MitDiese Parametrisierung war eigentlich ein Versehen, im Nachhinein vereinfacht sie aber die Rechnungen. \(u(v) = (\sqrt{c^2+v^2}, \vec v)^t\) ergibt das\[ T_{(v)} = \rho \left( \begin{array}{cc} c^2+v^2 & \sqrt{c^2+v^2} \, \vec v^t \\ \sqrt{c^2+v^2} \, \vec v & \vec v \, \vec v^t \end{array} \right) \, . \]

Dieselbe Formel ergibt sich für einen homogenen Teilchenstrom der Ruhedichte \(\rho\).

Verteilung ed

Es soll über eine Verteilung von Strömen integriert werden, die wechselwirkungsfrei durch einen Punkt fließen. Wähle als GeschwindigkeitsverteilungVerbesserungswürdig... aber erst einmal akzeptabel \(dP(\vec v) \propto e^{-v^2/\tau} \, d^3v\). \(\rho\) sei fest.\(\rho\) ist hier nicht die beobachtete Gesamtmassendichte! (Alternativ kann auch eine große Zahl einzelner Teilchen mit Masse \(m_i\) aufsummiert werden).

Ein paar Integrale:

\[ \int_\mathbb{R} e^{-x^2/\tau} dx = \sqrt{\pi \tau} \]

\[ Z = \int_{\mathbb{R}^3} e^{-v^2/\tau} = (\pi \tau)^{3/2} \]

\[ \int v_x \, dP = \int_\mathbb{R^+} \ldots - \int_\mathbb{R^+} \ldots = 0 \]

\[ \begin{array}{rl} \int v_x^2 \, dP &= \frac 1Z \int_{\mathbb{R}^3} v_x^2 \, e^{-v^2/\tau} d^3v \nonumber \\ &= \frac 1Z \int_\mathbb{R} v_x^2 \, e^{-v_x^2/\tau} dv_x \, \int_\mathbb{R} e^{-v_y^2/\tau} dv_y \, \int_\mathbb{R} e^{-v_z^2/\tau} dv_z \nonumber \\ &= (\pi \tau)^{-1/2} \int_\mathbb{R} v_x^2 \, e^{-v_x^2/\tau} dv_x \nonumber \\ &= (\pi \tau)^{-1/2} \int_\mathbb{R} v_x^2 \, e^{-v_x^2 \cdot a} dv_x \nonumber \\ &= - (\pi \tau)^{-1/2} \frac{\partial}{\partial a} \int_\mathbb{R} e^{-v_x^2 \cdot a} dv_x \nonumber \\ &= - (\pi \tau)^{-1/2} \frac{\partial}{\partial a} \sqrt{\pi / a} \nonumber \\ &= (\pi \tau)^{-1/2} \frac 12 \sqrt{\pi / a^3} \nonumber \\ &= (\pi \tau)^{-1/2} \frac 12 \sqrt{\pi \tau^3} = \frac \tau 2 \end{array} \]

\[ \int v^2 \, dP = \int (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) dP = \frac{3 \tau}{2} \]

Wenn man \(T\) über die Geschwindigkeitsverteilung integriert, ergibt sich (alle nicht-Diagonalelemente mitteln sich zu 0):\[ T = \int T_{(v)} dP = \rho \left( \begin{array}{cccc} c^2 + \frac{3 \tau}{2} & & & \\ & \frac{\tau}{2} & & \\ & & \frac{\tau}{2} & \\ & & & \frac{\tau}{2} \end{array} \right) \, . \]

Interpretation ed

Für ein Fluidum ist im Ruhesystem\[ T_F = \left( \begin{array}{cccc} c^2 \rho_F & & & \\ & p_F & & \\ & & p_F & \\ & & & p_F \end{array} \right) \, . \]

In obigem Modell ist der Druck wirklich ein Materie-Fluss, der sich relativ zum (gemittelten) Ruhesystem bewegt. Verglichen ergibt sich:\[ \begin{array}{rl} \operatorname{tr} T &\stackrel{!}{=} \operatorname{tr} T_F \\ \rho &= \rho_F - \frac{3 p_F}{c^2} \label{eq:rho_comparison} \\ \rho \tau &= 2 p_F \label{eq:funny_gas} \end{array} \]

Gl. \eqref{eq:rho_comparison} ist wohl ein Artefakt der praxisfernen Definition von \(\rho\). Gl. \eqref{eq:funny_gas} kann man mit der idealen Gas Gleichung vergleichen, was für kleine \(\tau\) (und damit \(\rho \approx \rho_F\)) auf\[ \tau \stackrel{!}{=} 2 T R_\mathrm{spec} = 2 T k_B / m_i \]

mit der Temperatur \(T\) und der einzelnen Teilchenmasse \(m_i\) führt. Dies ist zumindest konsistent mit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung\[ dP(\vec v) \propto e^{-v^2/\tau} \, d^3v = e^{-m_i v^2 / 2 k_B T} \, d^3v = e^{-E_i / k_B T} \, d^3v \, . \]

Sonstige Gedanken ed

Nebenbei ist der Energie-Impulstensor \(T\) allgemein immer symmetrisch und besitzt damit einen zeitartigen Eigenvektor. Also kann für jedes physikalische System (auch in der ART) lokal immer eine ausgezeichnete Zeitachse gewählt werden. Der gemittelte 4er-Impuls-Fluss senkrecht zu dieser Achse verschwindet, also dürfte man von einem Ruhesystem sprechen. Und relativ dazu könnte man Termodynamik betreiben. ("Zeit definiert durch Materie")

Die Verteilungsfunktion ist natürlich ziemlich unschön/nichtrelativistisch. Vielleicht kann man eine schönere finden, wenn man Kollisionen modelliert und schaut, in welche Verteilung das System nach viel "Zeit" konvergiert.

%\section{Elektromagnetische Wechselwirkung}

%Der erste (dumme) Gedanke war, den Druck als eine gegenseitige, elektromagnetische Abstoßung zu modellieren. Man hat in \(V\) homogen verteilte, ruhende Masse/Ladung. Mit geeigneten Randbedingungen ist \(B = 0\) und \(E \propto \vec r\). Dann wird aber \(T_{em}\) ortsabhängig und verschwindet für \(\vec r=0\) sogar. Außerdem entstehen Kräfte auf die Teilchen.

%\section{Masse etc}

%Man kann allgemein \(T\) für wechselwirkungsfreie Masseströme durch einen Punkt mitteln:%\begin{equation}% T = \int T_{(u)} dP(u) \, ,%\end{equation}%es gilt dabei%\begin{equation}% \operatorname{tr} T = \int \operatorname{tr} T_{(u)} dP(u) = c^2 \int \rho_{(u)} dP(u) \, .%\end{equation}

%\subsection{Ruhemasse pro Volumen}

%Sei in einem Bezugssystem ein Volumen \(V\) zu einem Zeitpunkt \(t_0\) gegeben. Wieviel Ruhemasse befindet sich in \(V\)?