Frobenius Theorie ed

aus dem Buch Differential Forms in Mathematical Physics von C von Westenholz

Frobenius Bedingung ed

Integralmannigfaltigkeit

Hyperfläche, deren Tangentialräume von der 1-Form \( \omega \) annihiliert werden.

Integrabilitätsbedingung

Sei eine nirgends verschwindende 1-Form \( \omega \) auf einer Umgebung \( U \subset \mathbb{R}^n \) (geht auch Mannigfaltigkeit?) gegeben. Es gibt eine Funktion \( f : U \rightarrow \mathbb{R}, \, df eq 0 \) , so dass die f-konstanten Hyperflächen Integralmannigfaltigkeiten zu \( \omega \) sind, genau dann, wenn \( \omega \wedge d\omega = 0 \) .

Das ist auch die Bedingung dafür, dass es Funktionen f, g gibt mit \( \omega = g\, df \) .

Folgen:

• im \( \mathbb{R}^2 \) sind alle pfaffsche Systeme lösbar, da \( \omega \wedge d\omega \) eine 3-Form ist.
• im \( \mathbb{R}^3 \) ist die Bedingung \( \vec v_\omega \cdot \operatorname{rot} \vec v_\omega = 0 \) .

Frobenius Integrabilität (Vektorfelder) ed

k-Distribution

glatte Zuordnung von k-dimensionalen Unterräumen \( \Delta : p \in M \rightarrow \Delta_p \lt T_pM \) , wird durch k glatte Vektorfelder aufgespannt.

involutive Distribution

\( X, Y \in \Delta \Rightarrow [X, Y] \in \Delta \) , oder kurz \( [\Delta, \Delta] \subset \Delta \)

Integralmannigfaltigkeit

\( T_pN = \Delta \) ...

Satz

Es sind äquivalent:

• \( \Delta \) involutiv
• in jeder Umgebung gibt es ein Koordinatensystem, so dass \( \Delta \) von den \( \partial_i \) aufgespannt wird
• durch jeden Punkt geht eine Integralmannigfaltigkeit

Kann als System partieller DGLn interpretiert werden: finde Funktionen, die von Vektorfeldern \( X_i \) annihiliert werden: \( X_i(f) = 0 \) (Integralfunktion). Oder \( df(\Delta) = 0 \) .

Frobenius (lokal)

\( M \) n-dim Mfg, \( \Delta \) k-Distribution, involutiv. Dann in Umgebung um Punkt Koordinatensystem möglich mit:

• \( \partial_1, \dots, \partial_k \) bilden Basis für \( \Delta \)
• Integralmfg sind genau gegeben durch \( x^{k+1}, \dots, x^n \) konstant
• alle Integralfunktionen von der Form \( f(x^{k+1}, \dots, x^n) \)

global

\( \Delta \) involutiv. Dann Folierung... durch jeden Punkt maximale Integralmfg.

Frobenius Integrabilität (1-Formen) ed

Duale Distributionen

\( \Delta^\star = \{ \omega | \omega(X) = 0 \forall X \in \Delta \} \)

\( \Delta = \{ X | \omega(X) = 0 \forall \omega \in \Delta^\star \} \)

Integrabilität

Pfaffsches System \( \omega^{k+1}, \dots, \omega^n \) , falls äquivalent zu \( df^{k+1}, \dots, df^n \) .

Also \( df^i = A^i_k \omega^k \) . Nach Frobenius... Koordinatensystem mit \( \omega^i = B^i_k dx^k \) .

Frobenius (lokal)

Es existieren \( \theta^i_k \) mit \( d\omega^i = \theta^i_k \wedge \omega^k \) genau dann, wenn es Funktionen \( f^i, g^i_k \) gibt mit \( \omega^i = g^i_k df^k \)

alternativ \( d\omega \) annihiliert \( \Delta \) ( \( d\omega(X, Y) = 0 \, \forall X, Y \in \Delta \) ).

Ideale ed

\( I(\Delta) = \{ \omega | \omega(X_1, \dots, X_p) = 0 | X_i \in \Delta \} \)

Frobenius

\( \Delta \) involutiv, genau dann, wenn \( dI \subset I \)

System \( \omega^i(X) = 0 \) und System mit zusätzlich \( d\omega(X, Y) = 0 \) haben selbe Integralmfg.