Festkörperphysik ed

Table of Contents

Kristalle ed

Definitionen ed

Gitter
Punktmenge, die unter Translationen in sich selbst übergeht. Wird von 3 Basisvektoren \( \vec a_{1,2,3} \) aufgespannt. Alle Punkte sind ganzzahlige Vielfache ( \( \vec v = n_1 \vec a_1 + n_2 \vec a_2 + n_3 \vec a_3 \ \ , n_{1,2,3} \in \mathfrak{Z} \) ) Diese Vektoren spannen die Einheitszelle auf.

Basis
Alle Atome in einer Einheitszelle

Kristall
Gitter + Basis

reziprokes Gitter (k-Raum)
Die reziproke Gitter-Basis erfüllt \( \vec b_i \cdot \vec a_j = 2 \pi \delta_{ij} \) , das reziproke Gitter wird von diesen Vektoren aufgespannt

Wigner-Seitz-Zelle
eine primitive Einheitszelle des Kristalles, die durch Flächen senkrecht zu Gitterpunkt-Verbindungen durch deren Mitte begrenzt wird

1. Brillouin-Zone (BZ)
Die Wigner-Seitz im K-Raum

Millersche Indizes
...geben Ebenen an...

Unter Symmetrien gibt es nur 14 eigenständige Punktgitter, die Bravaisgitter

Die dichtesten Gitter sind hcp und fcc (74%). NaCl ist fcc, wobei die Basis aus je einem Na und Cl-Atom besteht. Diamant ist auch fcc, aber mit 8 Atomen pro Zelle.

Bindungen ed

Edelgase ed

Durch van-der-Waals-Bindung: \( U ( r ) = - \frac A {r^6} + \frac B {r^{12}} \) . Die anziehende Dipol-Dipol-WW entsteht durch Kopplung von QM-harm.Osz. Der abstoßende Anteil ist die Austausch-WW durch Pauli (Überlappintegrale), wird auch gerne als Exp-Funktion geschrieben.

Ionen-Bindung ed

$  U = \cdots \frac 1 { 4 \pi \epsilon_0 } \frac{ q^2 }{ r } \sum_{ i
e j } \frac{ \pm 1 }{ p_{ij} } =: \cdots \frac 1 { 4 \pi \epsilon_0 } \frac{ q^2 }{ r } \alpha \( , wobei \) \alpha \( die '''Madelung-Konstante''' der Struktur ist. ==== Kovalente Bindung ==== Elektronenpaar zwischen Atomen, Überlapp, Pauli... stark und stark gerichtet ==== Metall ==== Elektronen delokalisiert, kin. Energie erniedrigt === Beugung === Durch die Gitterstruktur sind alle physikalischen Eigenschaften als Fourier-Reihen darstellbar, z.B. die Elektronendichte \) n (\vec r) = \sum_{\vec G} n_{\vec G} e^{ i \vec G \vec r } \( Für elastische Streuung gilt \) \vec k^2 = {\vec k'}^2 \( . Aus der Fourier-Reihe ergibt sich zusätzlich die Bedingung \) \vec k + \vec G = \vec k' \( , wobei G ein rez. Gittervektor ist. Dies ist äquivalent zur Bragg-Bedingung \) 2 d \mathrm{sin} \theta = n \lambda \( . Die Bedingung wird auch gerne als \) 2 \vec k \vec G = G^2 \( geschrieben. reflektiert werden können alle K's, die von einem rez. Gittervektor auf dem Rand der 1.BZ enden. Oder über die ''Ewald-Kugel''... Die Streuamplitude ist \) F_{\vec G} = N \int_{Zelle} n(\vec r) e^{ - i \vec G \vec r } dV =: N S_{\vec G} \( mit N der Anzahl der Zellen. Der Strukturfaktor wird gerne als Summe der Atomfaktoren geschrieben \) S_G = \sum_{Basis} f_{Atom} e^{Phase} \( == Phononen == === Gitterschwingungen === Die Phasengeschwindigkeit ist \) v_{ph} = \frac \omega k \( , die Gruppengeschwindigkeit ist \) v_g = \frac{ d\omega }{ dk } \( bzw. \) \vec v_g =abla_k \omega \( . Eine 1D-Kette mit Atomen der Masse M, Gitterabstand a und der Federkonstante C (period. Randbedingungen) ergibt eine Dispersionsrelation \) \omega = \sqrt{ 4 C/M } \vert \mathrm{sin} \frac{ ka } 2 \vert \( und somit \) v_g \propto \mathrm{cos} \frac{ ka } 2 \( . Sinnvolle k-Werte sind nur im Bereich \) -\frac \pi a \leq k \le \frac k a \( , was der 1.BZ entspricht. An deren Rand ergeben sich dabei stehende Wellen. Nimmt man p verschiedene Atome pro Gitterzelle, so ergeben sich: * 1 '''akkustischer''' Zweig: die Atome schwingen miteinander, wie oben \) k \ll \frac \pi a \Rightarrow \omega \approx \sqrt{ C/M } a k \propto k \( * (p-1) '''optische''' Zweige: gegeneinander, \) k \ll \frac \pi a \Rightarrow \omega \approx \mathrm{const} \( (Name, weil im opt. Bereich anregbar? oder nur Gegenteil zu akk.) Für ein 3D-Gitter ergeben sich: * 3 akk. Zweige: 1 LA (longitudinal akk.) + 2 TA (transversal akk.) * (3p-3) opt. Zweige: (p-1) LO + (2p-2) TO Gitterschwingungen verhalten sich wie '''Bosonen''', ist n die Phononenzahl, ist die Energie (einer Mode) \) \epsilon = ( n + \frac 12 ) \hbar \omega \( . Bei der 1D-Kette konnten bei N Gitterpunkten N Schwingungszustände (k-Werte) besetzt werden, somit gilt \) k_s = \frac{ 2 \pi }{ N a } \cdot s \ \ , s \in \mathfrak{Z} $

Modelle ed

Thermodynamik ed

Experimente ed

Phonon-Dispersionsrelation ed

inelastische Neutronenstreuung (n, da es nur Atomkern sieht), Wellenvektor-Differenz, Energiedifferenz messen, gibt k und omega der Phononen.

Phononlebensdauer aus Winkelbreite...

Dünnfilmherstellung ed

Diffraktometrie ed