Festkörperphysik ed

Table of Contents

Kristalle ed

Definitionen ed

Gitter
Punktmenge, die unter Translationen in sich selbst übergeht. Wird von 3 Basisvektoren \( \vec a_{1,2,3} \) aufgespannt. Alle Punkte sind ganzzahlige Vielfache ( \( \vec v = n_1 \vec a_1 + n_2 \vec a_2 + n_3 \vec a_3 \ \ , n_{1,2,3} \in \mathfrak{Z} \) ) Diese Vektoren spannen die Einheitszelle auf.

Basis
Alle Atome in einer Einheitszelle

Kristall
Gitter + Basis

reziprokes Gitter (k-Raum)
Die reziproke Gitter-Basis erfüllt \( \vec b_i \cdot \vec a_j = 2 \pi \delta_{ij} \) , das reziproke Gitter wird von diesen Vektoren aufgespannt

Wigner-Seitz-Zelle
eine primitive Einheitszelle des Kristalles, die durch Flächen senkrecht zu Gitterpunkt-Verbindungen durch deren Mitte begrenzt wird

1. Brillouin-Zone (BZ)
Die Wigner-Seitz im K-Raum

Millersche Indizes
...geben Ebenen an...

Unter Symmetrien gibt es nur 14 eigenständige Punktgitter, die Bravaisgitter

Die dichtesten Gitter sind hcp und fcc (74%). NaCl ist fcc, wobei die Basis aus je einem Na und Cl-Atom besteht. Diamant ist auch fcc, aber mit 8 Atomen pro Zelle.

Bindungen ed

Edelgase ed

Durch van-der-Waals-Bindung: \( U ( r ) = - \frac A {r^6} + \frac B {r^{12}} \) . Die anziehende Dipol-Dipol-WW entsteht durch Kopplung von QM-harm.Osz. Der abstoßende Anteil ist die Austausch-WW durch Pauli (Überlappintegrale), wird auch gerne als Exp-Funktion geschrieben.

Ionen-Bindung ed

$  U = \cdots \frac 1 { 4 \pi \epsilon_0 } \frac{ q^2 }{ r } \sum_{ i
e j } \frac{ \pm 1 }{ p_{ij} } =: \cdots \frac 1 { 4 \pi \epsilon_0 } \frac{ q^2 }{ r } \alpha \( , wobei \) \alpha \( die '''Madelung-Konstante''' der Struktur ist. ==== Kovalente Bindung ==== Elektronenpaar zwischen Atomen, Überlapp, Pauli... stark und stark gerichtet ==== Metall ==== Elektronen delokalisiert, kin. Energie erniedrigt === Beugung === Durch die Gitterstruktur sind alle physikalischen Eigenschaften als Fourier-Reihen darstellbar, z.B. die Elektronendichte \) n (\vec r) = \sum_{\vec G} n_{\vec G} e^{ i \vec G \vec r } \( Für elastische Streuung gilt \) \vec k^2 = {\vec k'}^2 \( . Aus der Fourier-Reihe ergibt sich zusätzlich die Bedingung \) \vec k + \vec G = \vec k' \( , wobei G ein rez. Gittervektor ist. Dies ist äquivalent zur Bragg-Bedingung \) 2 d \mathrm{sin} \theta = n \lambda \( . Die Bedingung wird auch gerne als \) 2 \vec k \vec G = G^2 \( geschrieben. reflektiert werden können alle K's, die von einem rez. Gittervektor auf dem Rand der 1.BZ enden. Oder über die ''Ewald-Kugel''... Die Streuamplitude ist \) F_{\vec G} = N \int_{Zelle} n(\vec r) e^{ - i \vec G \vec r } dV =: N S_{\vec G} \( mit N der Anzahl der Zellen. Der Strukturfaktor wird gerne als Summe der Atomfaktoren geschrieben \) S_G = \sum_{Basis} f_{Atom} e^{Phase} \( == Phononen == === Gitterschwingungen === Die Phasengeschwindigkeit ist \) v_{ph} = \frac \omega k \( , die Gruppengeschwindigkeit ist \) v_g = \frac{ d\omega }{ dk } \( bzw. \) \vec v_g =abla_k \omega \( . Eine 1D-Kette mit Atomen der Masse M, Gitterabstand a und der Federkonstante C (period. Randbedingungen) ergibt eine Dispersionsrelation \) \omega = \sqrt{ 4 C/M } \vert \mathrm{sin} \frac{ ka } 2 \vert \( und somit \) v_g \propto \mathrm{cos} \frac{ ka } 2 \( . Sinnvolle k-Werte sind nur im Bereich \) -\frac \pi a \leq k \le \frac k a \( , was der 1.BZ entspricht. An deren Rand ergeben sich dabei stehende Wellen. [[Bild:phonon_dispersion_akk_opt.jpg|180px|thumb|Dispersion akk/opt]] Nimmt man p verschiedene Atome pro Gitterzelle, so ergeben sich: * 1 '''akkustischer''' Zweig: die Atome schwingen miteinander, wie oben \) k \ll \frac \pi a \Rightarrow \omega \approx \sqrt{ C/M } a k \propto k \( * (p-1) '''optische''' Zweige: gegeneinander, \) k \ll \frac \pi a \Rightarrow \omega \approx \mathrm{const} \( (Name, weil im opt. Bereich anregbar? oder nur Gegenteil zu akk.) Für ein 3D-Gitter ergeben sich: * 3 akk. Zweige: 1 LA (longitudinal akk.) + 2 TA (transversal akk.) * (3p-3) opt. Zweige: (p-1) LO + (2p-2) TO === Phononen === Gitterschwingungen verhalten sich wie '''Bosonen''', ist n die Phononenzahl, ist die Energie (einer Mode) \) \epsilon = ( n + \frac 12 ) \hbar \omega \( . Bei der 1D-Kette konnten bei N Gitterpunkten N Schwingungszustände (k-Werte) besetzt werden, somit gilt \) k_s = \frac{ 2 \pi }{ N a } \cdot s \ \ , s \in \mathfrak{Z} \( . Einen echten Impuls haben Phononen eigentlich nur für k=0, dann bewegt sich der Kristall als ganzes. Ihnen wird aber ein Impuls \) \vec p = \hbar \vec k \( zugeordnet, der sich wie ein ''echter'' Impuls verhält. Es kann aber ein beliebiger rez. Gittervektor addiert werden. Bei einer Streuung (z.B. Photonen) gilt für die Impuls \) \vec k_{phot} \pm \vec k_{phon} = \vec k'_{phot} + \vec G \( , hierbei ist G ein rez. Gittervektor ist und bei der Streuung ein Phonon erzeugt/vernichtet wird. (`Auswahlregeln`). === Thermodynamik und Modelle === Die innere Energie (für einen Zweig) ist \) U = \sum_k \frac{ \hbar \omega_k }{ e^{ \hbar \omega_k / k_B T } - 1 } = \int D(\omega) \frac{ \hbar \omega }{ e^{ \hbar \omega / k_B T } - 1 } d\omega \( , daraus ergibt sich die spez. Wärme \) C_V = \left( \frac{ \partial U }{ \partial T } \right)_V \( Die Zustandsdichte \) D(\omega) = \frac{ dN }{ d\omega } = \frac{ dN }{ dk } \frac{ dk }{ d\omega } \( wird benötigt. Dazu wird die Dispersionsrelation \) \omega ( k ) \( abgeschätzt: ==== Debye-Modell ==== Hier ist die Schallgeschwindigkeit konstant. Also \) \omega = v k \Rightarrow D(\omega) = \frac{ V \omega^2 }{ 2 \pi^2 v^3 } \( . Es werden akkustische Phohonen bei tiefen Temperaturen beschrieben. Über die Fermikugel können Grenzwerte definiert werden: \) k_D = \left( \frac{ 6 \pi^2 N }{ V } \right)^{1/3} \( , \) \omega_D = v k_D \( , \) \theta = \frac{ \hbar \omega_D }{ k_B } \( ('''Debye-Temperatur''') Daraus ergibt sich \) U \approx \frac{ 3 \pi^4 N k_B T^4 }{ 5 \theta^3 } \Rightarrow C_V = \frac{ 12 \pi^4 N k_B }{ 5 \theta^3 } T^3 \( ('''Debyesches- \) T^3 \( -Gesetz'''). Dieses Gesetzt gilt gut bei tiefen T ( \) T \le \theta / 10 \( ), da hier fast nur akkustische Phohonen angeregt sind. ==== Einstein-Modell ==== Annahme: \) D(\omega) = N \delta( \omega - \omega_0 ) \( . Daraus ergibt sich \) U = \frac{ N \hbar \omega }{ e^{ \hbar \omega / k_B T } - 1 } \Rightarrow C_V = N k_B \left( \frac{ \hbar \omega }{ k_B T } \right)^3 \frac{ e^{\cdots} }{ ( e^{\cdots} - 1 )^2 } \( Und in den Grenzfällen: * ( \) T \rightarrow 0 \( ) \) C_V \propto e^{ - \hbar \omega / k T } \( * ( \) T \rightarrow \infty \( ) \) C_V \rightarrow 3 N k_B \( (Dulong-Petitsches Gesetz) === Wärmeleitung === Der harmonische Ansatz ignoriert Phonon-Phonon-WW. Erst kubische Therme im Potential erlauben diese und ergeben auch Wärmeausdehnung des Körpers. Der Fluss der therm. Energie ist \) \vec j_U = - Kabla T \( , mit K der Wärmeleitzahl. Für K gilt: \) K = \frac 13 C v l \( , mit C der spez. Wärme, v der mittleren Teilchengeschwindigkeit und l der mittleren freien Weglänge (diese Formel ergibt sich aus der kin. Gastheorie). Zur Herstellung des therm. Gleichgewichts kommen naiv 3 Stoßprozesse der Phononen in Frage: * Phonon-Gitterfehler: elastisch, also kein Energieaustausch, kein GGW kann sich einstellen * Phonon-Phonon (normal): \) \vec k_1 + \vec k_2 = \vec k_3 \( , hier ist der Gesamtimpuls erhalten, auch schlecht * Phonon-Phonon ('''Umklapp-Prozess'''): \) \vec k_1 + \vec k_2 = \vec k_3 + \vec G \( , hier kann sich viel ändern! Es gilt für große T: \) l \propto \frac 1 n \propto \frac 1 T \rightarrow K \propto \frac 1 T \( , für kleine T: \) K \propto e^{ \theta / T } \( (die Phononen, U-Prozesse sterben aus) l steigt an, bis es die Kristallausdehnung D erreicht: \) K \approx \frac 1 3 C(T) v D \propto T^3 $ .

Experimente ed

Phonon-Dispersionsrelation ed

inelastische Neutronenstreuung (n, da es nur Atomkern sieht), Wellenvektor-Differenz, Energiedifferenz messen, gibt k und omega der Phononen.

Phononlebensdauer aus Winkelbreite...

Dünnfilmherstellung ed

Diffraktometrie ed