Festkörperphysik ed

Table of Contents

Kristalle ed

Definitionen ed

Gitter
Punktmenge, die unter Translationen in sich selbst übergeht. Wird von 3 Basisvektoren \( \vec a_{1,2,3} \) aufgespannt. Alle Punkte sind ganzzahlige Vielfache ( \( \vec v = n_1 \vec a_1 + n_2 \vec a_2 + n_3 \vec a_3 \ \ , n_{1,2,3} \in \mathbb{Z} \) ) Diese Vektoren spannen die Einheitszelle auf.

Basis
Alle Atome in einer Einheitszelle

Kristall
Gitter + Basis

reziprokes Gitter (k-Raum)
Die reziproke Gitter-Basis erfüllt \( \vec b_i \cdot \vec a_j = 2 \pi \delta_{ij} \) , das reziproke Gitter wird von diesen Vektoren aufgespannt

Wigner-Seitz-Zelle
eine primitive Einheitszelle des Kristalles, die durch Flächen senkrecht zu Gitterpunkt-Verbindungen durch deren Mitte begrenzt wird

1. Brillouin-Zone (BZ)
Die Wigner-Seitz im K-Raum

Millersche Indizes
...geben Ebenen an...

Unter Symmetrien gibt es nur 14 eigenständige Punktgitter, die Bravaisgitter

Die dichtesten Gitter sind hcp und fcc (74%). NaCl ist fcc, wobei die Basis aus je einem Na und Cl-Atom besteht. Diamant ist auch fcc, aber mit 8 Atomen pro Zelle.

Bindungen ed

Edelgase ed

Durch van-der-Waals-Bindung: \( U ( r ) = - \frac A {r^6} + \frac B {r^{12}} \) . Die anziehende Dipol-Dipol-WW entsteht durch Kopplung von QM-harm.Osz. Der abstoßende Anteil ist die Austausch-WW durch Pauli (Überlappintegrale), wird auch gerne als Exp-Funktion geschrieben.

Ionen-Bindung ed

$  U = \cdots \frac 1 { 4 \pi \epsilon_0 } \frac{ q^2 }{ r } \sum_{ i
e j } \frac{ \pm 1 }{ p_{ij} } =: \cdots \frac 1 { 4 \pi \epsilon_0 } \frac{ q^2 }{ r } \alpha \( , wobei \) \alpha \( die '''Madelung-Konstante''' der Struktur ist. ==== Kovalente Bindung ==== Elektronenpaar zwischen Atomen, Überlapp, Pauli... stark und stark gerichtet ==== Metall ==== Elektronen delokalisiert, kin. Energie erniedrigt === Beugung === Durch die Gitterstruktur sind alle physikalischen Eigenschaften als Fourier-Reihen darstellbar, z.B. die Elektronendichte \) n (\vec r) = \sum_{\vec G} n_{\vec G} e^{ i \vec G \vec r } \( Für elastische Streuung gilt \) \vec k^2 = {\vec k'}^2 \( . Aus der Fourier-Reihe ergibt sich zusätzlich die Bedingung \) \vec k + \vec G = \vec k' \( , wobei G ein rez. Gittervektor ist. Dies ist äquivalent zur Bragg-Bedingung \) 2 d \mathrm{sin} \theta = n \lambda \( . Die Bedingung wird auch gerne als \) 2 \vec k \vec G = G^2 \( geschrieben. reflektiert werden können alle K's, die von einem rez. Gittervektor auf dem Rand der 1.BZ enden. Oder über die ''Ewald-Kugel''... Die Streuamplitude ist \) F_{\vec G} = N \int_{Zelle} n(\vec r) e^{ - i \vec G \vec r } dV =: N S_{\vec G} \( mit N der Anzahl der Zellen. Der Strukturfaktor wird gerne als Summe der Atomfaktoren geschrieben \) S_G = \sum_{Basis} f_{Atom} e^{Phase} \( == Phononen == === Gitterschwingungen === Die Phasengeschwindigkeit ist \) v_{ph} = \frac \omega k \( , die Gruppengeschwindigkeit ist \) v_g = \frac{ d\omega }{ dk } \( bzw. \) \vec v_g =abla_k \omega \( . Eine 1D-Kette mit Atomen der Masse M, Gitterabstand a und der Federkonstante C (period. Randbedingungen) ergibt eine Dispersionsrelation \) \omega = \sqrt{ 4 C/M } \vert \mathrm{sin} \frac{ ka } 2 \vert \( und somit \) v_g \propto \mathrm{cos} \frac{ ka } 2 \( . Sinnvolle k-Werte sind nur im Bereich \) -\frac \pi a \leq k \le \frac k a \( , was der 1.BZ entspricht. An deren Rand ergeben sich dabei stehende Wellen. [[Bild:phonon_dispersion_akk_opt.jpg|180px|thumb|Dispersion akk/opt]] Nimmt man p verschiedene Atome pro Gitterzelle, so ergeben sich: * 1 '''akkustischer''' Zweig: die Atome schwingen miteinander, wie oben \) k \ll \frac \pi a \Rightarrow \omega \approx \sqrt{ C/M } a k \propto k \( * (p-1) '''optische''' Zweige: gegeneinander, \) k \ll \frac \pi a \Rightarrow \omega \approx \mathrm{const} \( (Name, weil im opt. Bereich anregbar? oder nur Gegenteil zu akk.) Für ein 3D-Gitter ergeben sich: * 3 akk. Zweige: 1 LA (longitudinal akk.) + 2 TA (transversal akk.) * (3p-3) opt. Zweige: (p-1) LO + (2p-2) TO === Phononen === Gitterschwingungen verhalten sich wie '''Bosonen''', ist n die Phononenzahl, ist die Energie (einer Mode) \) \epsilon = ( n + \frac 12 ) \hbar \omega \( . Bei der 1D-Kette konnten bei N Gitterpunkten N Schwingungszustände (k-Werte) besetzt werden, somit gilt \) k_s = \frac{ 2 \pi }{ N a } \cdot s \ \ , s \in \mathfrak{Z} \( . Einen echten Impuls haben Phononen eigentlich nur für k=0, dann bewegt sich der Kristall als ganzes. Ihnen wird aber ein Impuls \) \vec p = \hbar \vec k \( zugeordnet, der sich wie ein ''echter'' Impuls verhält. Es kann aber ein beliebiger rez. Gittervektor addiert werden. Bei einer Streuung (z.B. Photonen) gilt für die Impuls \) \vec k_{phot} \pm \vec k_{phon} = \vec k'_{phot} + \vec G \( , hierbei ist G ein rez. Gittervektor ist und bei der Streuung ein Phonon erzeugt/vernichtet wird. (`Auswahlregeln`). === Thermodynamik und Modelle === Die innere Energie (für einen Zweig) ist \) U = \sum_k \frac{ \hbar \omega_k }{ e^{ \hbar \omega_k / k_B T } - 1 } = \int D(\omega) \frac{ \hbar \omega }{ e^{ \hbar \omega / k_B T } - 1 } d\omega \( , daraus ergibt sich die spez. Wärme \) C_V = \left( \frac{ \partial U }{ \partial T } \right)_V \( Die Zustandsdichte \) D(\omega) = \frac{ dN }{ d\omega } = \frac{ dN }{ dk } \frac{ dk }{ d\omega } \( wird benötigt. Dazu wird die Dispersionsrelation \) \omega ( k ) \( abgeschätzt: ==== Debye-Modell ==== Hier ist die Schallgeschwindigkeit konstant. Also \) \omega = v k \Rightarrow D(\omega) = \frac{ V \omega^2 }{ 2 \pi^2 v^3 } \( . Es werden akkustische Phohonen bei tiefen Temperaturen beschrieben. Über die Fermikugel können Grenzwerte definiert werden: \) k_D = \left( \frac{ 6 \pi^2 N }{ V } \right)^{1/3} \( , \) \omega_D = v k_D \( , \) \theta = \frac{ \hbar \omega_D }{ k_B } \( ('''Debye-Temperatur''') Daraus ergibt sich \) U \approx \frac{ 3 \pi^4 N k_B T^4 }{ 5 \theta^3 } \Rightarrow C_V = \frac{ 12 \pi^4 N k_B }{ 5 \theta^3 } T^3 \( ('''Debyesches- \) T^3 \( -Gesetz'''). Dieses Gesetzt gilt gut bei tiefen T ( \) T \le \theta / 10 \( ), da hier fast nur akkustische Phohonen angeregt sind. ==== Einstein-Modell ==== Annahme: \) D(\omega) = N \delta( \omega - \omega_0 ) \( . Daraus ergibt sich \) U = \frac{ N \hbar \omega }{ e^{ \hbar \omega / k_B T } - 1 } \Rightarrow C_V = N k_B \left( \frac{ \hbar \omega }{ k_B T } \right)^3 \frac{ e^{\cdots} }{ ( e^{\cdots} - 1 )^2 } \( Und in den Grenzfällen: * ( \) T \rightarrow 0 \( ) \) C_V \propto e^{ - \hbar \omega / k T } \( * ( \) T \rightarrow \infty \( ) \) C_V \rightarrow 3 N k_B \( (Dulong-Petitsches Gesetz) === Wärmeleitung === Der harmonische Ansatz ignoriert Phonon-Phonon-WW. Erst kubische Therme im Potential erlauben diese und ergeben auch Wärmeausdehnung des Körpers. Der Fluss der therm. Energie ist \) \vec j_U = - Kabla T \( , mit K der Wärmeleitzahl. Für K gilt: \) K = \frac 13 C v l \( , mit C der spez. Wärme, v der mittleren Teilchengeschwindigkeit und l der mittleren freien Weglänge (diese Formel ergibt sich aus der kin. Gastheorie). Zur Herstellung des therm. Gleichgewichts kommen naiv 3 Stoßprozesse der Phononen in Frage: * Phonon-Gitterfehler: elastisch, also kein Energieaustausch, kein GGW kann sich einstellen * Phonon-Phonon (normal): \) \vec k_1 + \vec k_2 = \vec k_3 \( , hier ist der Gesamtimpuls erhalten, auch schlecht * Phonon-Phonon ('''Umklapp-Prozess'''): \) \vec k_1 + \vec k_2 = \vec k_3 + \vec G \( , hier kann sich viel ändern! Es gilt für große T: \) l \propto \frac 1 n \propto \frac 1 T \rightarrow K \propto \frac 1 T \( , für kleine T: \) K \propto e^{ \theta / T } \( (die Phononen, U-Prozesse sterben aus) l steigt an, bis es die Kristallausdehnung D erreicht: \) K \approx \frac 1 3 C(T) v D \propto T^3 \( . == Elektronische Struktur == === freies Elektronengas === ==== allgemein ==== El. sind Fermionen, unterliegen der Fermi-Dirac-Statistik \) f(\epsilon) = \frac 1 { e^{ ( \epsilon - \mu ) / k T } + 1 } \( . Das chem. Potential \) \mu ( T ) \( ist eine Funktion, die so zu wählen ist, dass die Teilchenzahl erhalten bleibt. Die '''Fermi-Energie''' ist \) \epsilon_F = \mu ( T = 0 ) \( (die maximale Energie bei T=0). Im Grundzustand besetzen N El. die '''Fermi-Kugel''' im K-Raum mit \) k_F = \left( \frac{ 3 \pi^2 N }{ V } \right)^{1/3} \( , \) v_F = \frac{ \hbar k_F }{ m } \( , \) \epsilon_F = \frac{ \hbar^2 k_F^2 }{ 2 m } \( . Die bis zu einer Energie besetzbaren Zustände sind \) N ( \epsilon ) = \frac{ V }{ 3 \pi^2 } \left( \frac{ 2 m \epsilon }{ \hbar^2 } \right)^{3/2} \( . Und somit die Zustandsdichte \) D( \epsilon ) = \frac{ V }{ 2 \pi^2 } \left( \frac{ 2 m }{ \hbar^2 } \right)^{3/2} \sqrt{ \epsilon } \propto \sqrt{ \epsilon } \( . Bei Raumtemp. ist die Kugel fast lückenlos besetzt, Stöße können nur von der äußeren Schale wieder in diese geschehen. Deswegen sind die El. weniger an der Wärmeleitung beteiligt, als vermutet. Für kleine T's gilt \) C_{el} \propto T \( . In reinen Metallen übernehmen sie aber den Hauptanteil, bei Verunreinigungen ähnlich viel, wie die Phononen. Außerdem gilt für nicht zu niedere T's das ''Widemann-Franzsche Gesetz'' \) \frac K \sigma = \frac{ \mathrm{Waermeleitung} }{ \mathrm{el. Leitung} } = L T \propto T \( mit der Lorenz-Zahl L (material-unabh.). ==== Halleffekt ==== Im Feld erfahren die El. eine Kraft \) \vec F = \hbar \dot \vec k = - e ( \vec E + \vec v \times \vec B ) \( . Für B=0 wird die Fermi-Kugel als ganzes um \) \delta \vec k = - e \vec E t / \hbar \( verschoben. Durch Stöße mit der Stoßzeit \) \tau \( stellt sich ein GGW. ein mit \) \vec j = n q \vec v = \frac{ n e^2 \tau }{ m } \vec E = \sigma \vec E \( . Die Leitfähigkeit wird bei 300K durch Phononenstöße (Umklapp-Prozesse) bestimmt, bei tiefen T's durch Fremdatome/Gitterfehler. Die Auslenkung der Fermi-Kugel wird beschrieben durch \) \hbar ( \frac{ d }{ dt } + \frac 1 \tau ) \delta \vec k = \vec F \( . Wenn stationär (und Hall-Anordnung) ist \) E_y= - \omega_c \tau E_x = - \frac{ e B \tau }{ m } E_x \( , und die Hallkonstante \) R_H = \frac{ E_y }{ j_x B } = - \frac 1 { n e } \( (n = Ladungsträgerdichte). Für einen Lochstrom ist dies positiv! === Bänder === In einem period. Potential können die El. durch '''Blochwellen''' beschrieben werden: \) \Psi_{\vec k} ( \vec r ) = u_{\vec k} ( \vec r ) e^{ i \vec k \vec r } \( mit einer Funktion u mit der Periodizität des Gitters. Das Potential kann als Fourier-Reihe geschrieben werden: \) U ( \vec r ) = \sum_{\vec G} U_{\vec G} e^{ i \vec G \vec r } \( . Der Ansatz \) \Psi = \sum_{\vec k} c_{\vec k} e^{ i \vec k \vec r } \( führt auf die '''Hauptgleichung''': \) \left( \frac{ \hbar^2 k^2 }{ 2 m } - \epsilon \right) c_{\vec k} + \sum_{\vec G} U_{\vec G} c_{\vec k - \vec G} = 0 \( . \) \hbar \vec k \( wird ''Quasiimpuls'' genannt, seine Erhaltung bei Stößen gilt modulo rez. Gittervektor: \) \vec k + \vec q = \vec k' + \vec q' + \vec G \( . k ist wie üblich besetzbar durch \) \vec k \in \left( \frac{ 2 \pi }{ L } \right)^3 \mathfrak{Z}^3 \( . [[Bild:einfache_Bandstruktur.jpg|thumb|180px|einfache Bänder mit Lücke]] Durch Näherungen in einfachen Fällen (U=0, U klein, oder Kronig-Penney-Modell) kann die Hauptgleichung gelöst werden. Es ergeben sich Energiebänder. Zwischen diesen kann es zu einer Energielücke kommen (wie für U=0, stehende Wellen an den Grenzen der 1. BZ, sin, cos Maximum bei Kernen, dazwischen). Die Bänder sind durch 2N Zustände besetzbar (N = Anzahl der elementaren Zellen). Ist die Zahl der Valenz-El. gerade und das Valenzband komplett gefüllt, das Leitungsband aber leer (mit Lücke), handelt es sich um einen Isolator. Halb besetzte Bänder bewirken Metalleigenschaften. === Halbleiter === [[Bild:bandlücke_indirekt.jpg|thumb|180px|indirekte Bandlücke]] Indirekte Bandlücke als Rampe in optischer Spektroskopie. Nur durch Phononenstöße zu überwinden (hohe k's, kaum Energie, 10-30meV). Es gilt im Feld: \) \hbar \vec\dot k = \vec F = - e \vec v \times \vec B = - \frac e \hbar (abla_k \epsilon ) \times B \( . Die Bewegung im k-Raum geschieht also senkrecht zu B, auf Flächen konstanter Energie. Löcher besitzen die Eigenschaften \) \vec k_h = - \vec k_e \( (wegen Gesamt-Impuls-Erhaltung), \) \epsilon_h ( k_h ) = - \epsilon_e ( k_e ) \( (Symmetrie der Energie...), \) \vec v_h = \vec v_e \Leftarrow \vec v =abla_k \epsilon \( , \) m_h = - m_e \( , \) q_h = + e \( . Die '''effektive Masse''' von Elektronen ist (als Vergleich zum freien El.) \) \frac 1 { m^\ast } = \frac 1 { \hbar^2 } \frac{ d^2 \epsilon }{ dk^2 } \( (Tensor...). Enstpricht also der Bandkrümmung, kann auch negativ werden (z.B. an Zonengrenze). Anschaulich: El. gibt mehr Impuls an das Gitter ab, als es von außen aufzunehmen bekommt. (auch \) \omega_c = \frac{ e B }{ m^\ast } \( ist betroffen...) [[Bild:halbleiter_bandstruktur.jpg|thumb|180px|Halbleiter Bänder]] ...typische Bandstruktur: * e: Elektronen, 5% eff. Masse (relativ zu freiem El.) * hh: heavy holes, 50% * lh: light holes, 5% * soh: spin orbit holes, 10% (wegen Spin-Bahn-WW abgespalten) Das Produkt der Konzentrationen von El. und Löchern ist eine T-abhängige Konstante! Ist insbesondere unabhängig von der Reinheit des Materials. Für Eigenleiter gilt \) n_i = p_i \propto e^{ - E_g / 2 k T } \( . Somit ist das chem. Potential hier genau in der Mitte zwischen den Bändern. ...El. sind auch beweglicher als Löcher... Dotierung verbessert Leitfähigkeit um Faktor 1000. Donator = Einbau von zu hoch-wertigen Atomen, überschüssige El. === Metalle === ==== Fermifläche ==== Die Fermifläche ist die Oberfläche des Fermikörpers bei T=0 (k-Raum, konst. Energie = Fermienergie, trennt besetzte/unbesetzte Zustände bei T=0). Schemata: * reduziert * erweitert * periodisch Regeln zur Konstruktion: * WW der El. mit dem period. Potential des Gitters führt zu Energielücken an Zonengrenzen * Fermifläche schneidet Zonengrenze (fast) immer senkrecht * abgerundete Ecken (durch Kristallpot.) * Gesamtvolumen der Fermifläche hängt nur von El.Konzentration ab, nicht von der konkreten Gitter-WW Bahnen der Elektronen: * Elektronenbahnen (umschließen besetzte Gebiete) * Lochbahnen (umschließen unbesetzte Gebiete, anderer Drehsinn, ähnliches Verhalten wie `Loch`) * offene Bahnen (period. durch Zone) Berechnungsmöglichkeiten der FF: * Methode der `starke Kopplung` / LCAO * Wigner-Seitz-Methode * Pseudopotentialmethode ==== de Haas-van Alphen ==== (halbklassisch von Onsager-Lifschitz, aber korrekt) Bahnquantisierung \) \oint p dr = ( n + \gamma ) h = \cdots = - q \phi \( , Flussquantisierung \) \phi_n = ( n + \gamma ) \frac h e \Rightarrow \phi = \frac h e \( (Flussquant). Die Bahnen (mit Index n) umschließen in Orts- und k-Raum Flächen, deren Inhalt mit dem Fluss (und somit auch untereinander) über das B-Feld in Beziehung steht. Sollen für unterschiedliche B's zwei Bahnen (n, n+1) im k-Raum die selben Fläche (S) besitzen, so folgt \) S \cdot \left( \frac 1 { B_n } - \frac 1 { B_{n+1} } \right) = \frac{ 2 \pi e }{ h } \( . Unabhängigkeit von n der rechten Seite -\gt '''Oszillationen''' mit \) \frac 1 B \( . Es osziellieren auch die Besetzungszahlen nahe der Fermifläche. Es entstehen Landau-Niveaus mit einer (möglichen) Besetzungszahl pro Niveau: \) D = \Delta S \left( \frac{ 2 \pi } L \right)^3 = \frac{ L^2 }{ \phi_0 } B \( ...blabla... Gesamtenergie oszilliert mit B, damit auch das magnetische Moment \) \mu = - \frac{ \partial E }{ \partial B } $ .

Hauptverantwortlich sind Bahnen auf der Fermi-Fläche, die extremal sind, da sich sonst benachbarte Kurven gegenseitig entgegenwirken können. Dieser Effekt ist somit auch nützlich die Fermiflächen zu vermessen (zumindest kann eine berechnete Struktur bewertet werden).

Experimente ed

Phonon-Dispersionsrelation ed

inelastische Neutronenstreuung (n, da es nur Atomkern sieht), Wellenvektor-Differenz, Energiedifferenz messen, gibt k und omega der Phononen.

Phononlebensdauer aus Winkelbreite...

Dünnfilmherstellung ed

Diffraktometrie ed

Ladungsträgerdichte ed

Über Hallwiderstand (Strom in X-Richtung, Spannung in Y). Ergibt positiven Wert für Lochstrom!

Bandlücke ed

Fermi-Fläche ed

Categories: Physik