Eichfeldtheorie der Cartanbasen ed

Um mir selbst Eichfeldtheorie von Helga Baum zu erklären ein Beispiel... Cartanbasen...

Cartanbasen ed

Mannigfaltigkeit \( M \) , Dimension n. Die Metrik sei positiv definit. Koordinaten \( x^i \)

Für jeden Punkt eine eigene Transformationsmatrix \( e_I^j \) (glatt...), die von der natürlichen Basis \( \partial_i \) in eine ON-Basis transformiert: \( e_I = e_I^a \partial_a \) .

"Eichfreiheit"

Eine solche Basis kann durch eine beliebige (glatte...) Drehung transformiert werden ( \( G := SO(n) \) )

Zusammenhang

Für jede Richtung \( X \in \Gamma(TM) \) gibt es eine infinitesimale Drehung \( \omega(X) \) beim Paralleltransport in eine benachbarte Basis... \( \mathfrak{so}(n) \) -Lie-Algebra-wertige 1-Form \( \omega \)

Hauptfaserbündel ed

Das Bündel ed

Konstruiere ein Hauptfaserbündel \( (P, \pi, M; G) \) ... muss es trivial sein??? ... Über eine Bündelkarte wird jedem Punkt in \( M \) eine Kopie von \( G \) angehängt.

$ G $  hat auf einem n-dim. Vektorraum  $ V $  auf natürliche Weise eine Darstellung als Drehmatrizen. Dann ist das zu  $ P $  assoziierte Vektorbündel  $  E := P \times_G V  $  isomorph zu  $ TM $ 

Die Äquivalenzrelation bewirkt, dass ... gegenseitige Rotation der Cartanbasis und \( V \) .... Basis gegen Komponenten... Gemeinsam geometrische (invariante) Bedeutung...

Schnitte ed

Ein Schnitt \( s \in \Gamma(P) \) weist jedem Punkt in \( M \) eine Drehung zu. Jede Wahl eines Schnittes entspricht der Wahl eines Cartan-Basisfeldes, also einer Eichung. (Neutrales Element in \( G \) hat hierbei keine spezielle Bedeutung, da die Wahl der ursprünglichen Basis auch keine Bedeutung hat. Spezielles Aussehen kommt nur durch die Bündelkarte!)