Eichfeldtheorie der Cartanbasen ed

Um mir selbst Eichfeldtheorie von Helga Baum zu erklären ein Beispiel... Cartanbasen...

Cartanbasen ed

Mannigfaltigkeit \( M \) , Dimension n. Die Metrik sei positiv definit. Koordinaten \( x^i \)

Für jeden Punkt eine eigene Transformationsmatrix \( e_I^j \) (glatt...), die von der natürlichen Basis \( \partial_i \) in eine ON-Basis transformiert: \( e_I = e_I^a \partial_a \) .

"Eichfreiheit"

Eine solche Basis kann durch eine beliebige (glatte...) Drehung transformiert werden ( \( G := SO(n) \) )

Zusammenhang

Für jede Richtung \( X \in \Gamma(TM) \) gibt es eine infinitesimale Drehung \( \omega(X) \) beim Paralleltransport in eine benachbarte Basis... \( \mathfrak g := \mathfrak{so}(n) \) -Lie-Algebra-wertige 1-Form \( \omega \)

Hauptfaserbündel ed

Das Bündel ed

Konstruiere ein Hauptfaserbündel \( (P, \pi, M; G) \) ... muss es trivial sein??? ... Über eine Bündelkarte wird jedem Punkt in \( M \) eine Kopie von \( G \) angehängt.

$ G $  hat auf einem n-dim. Vektorraum  $ V $  auf natürliche Weise eine Darstellung als Drehmatrizen. Dann ist das zu  $ P $  assoziierte Vektorbündel  $  E := P \times_G V  $  isomorph zu  $ TM $ 

Die Äquivalenzrelation bewirkt, dass ... gegenseitige Rotation der Cartanbasis und \( V \) .... Basis gegen Komponenten... Gemeinsam geometrische (invariante) Bedeutung...

Schnitte ed

Ein Schnitt \( s \in \Gamma(P) \) weist jedem Punkt in \( M \) eine Drehung zu. Jede Wahl eines Schnittes entspricht der Wahl eines Cartan-Basisfeldes, also einer Eichung. (Neutrales Element in \( G \) hat hierbei keine spezielle Bedeutung, da die Wahl der ursprünglichen Basis auch keine Bedeutung hat. Spezielles Aussehen kommt nur durch die Bündelkarte!)

Zusammenhang ed

Die Wahl eines Zusammenhangs \( A \) in \( P \) entspricht der Wahl "horizontaler" Tangential-Unterrräume in \( TP \) . Diese sind innerhalb jede Faser parallel... werden durch die natürliche \( G \) -Wirkung transformiert. Es genügt also den Zusammenhang nur auf einem Schnitt (z.B. \( M \) selbst in einer Bündelkarte) zu wählen.

Die Zusammenhangsform \( A \) auf \( P \) beschreibt diese Unterräume als deren Kern... \( \mathfrak g \) -wertig!

Eine Kurve in \( P \) kann durch diese Unterräume (horizontal) verlaufen.... Wenn ihre Projektion auf \( M \) zum Startpunkt zurückkehrt, muss diese Kurve trotzdem nicht geschlossen sein, wenn Krümmung vorliegt. Der Unterschied zwischen Anfang und Ende als Gruppenelement entspricht gerade der klassischen Holonomie der projizierten Weges.

Die Zusammenhangsform \( A \) kann durch einen Schnitt \( s \in \Gamma(P) \) und eine \( \mathfrak g \) -wertige 1-Form auf \( M \) beschrieben werden. Ein Vektorfeld \( X \in \Gamma(M) \) wird durch \( ds \) auf den Tangentialraum des Schnittes projiziert. Dazu gibt es einen Pullback \( A^s := A \circ ds \in \Omega^1(M, \mathfrak g) \) . Dies entspricht der klassischen Zusammenhangsform.