Differentialgeometrie ed

Table of Contents

Kurven ed

lokal ed

def regulär parametrisiert
\[ \dot c \neq 0 \]

def Frenetkurve
\( c(s) \) nach Bogenlänge im \( \mathbb R^n \), \( C^n \)
\( c', c'', \dots, c^{(n-1)} \) linuear unabhängig
Frenet-\(n\)-Bein \(e_1, \dots, e_n\) positiv orientiert, orthonormal
\( \langle c', \dots, c^{(k)} \rangle = \langle e_1, \dots, e_k \rangle \) und \( \langle c^{(k)}, e_k \rangle \ge 0 \) (z.B. Gram-Schmidt)

Frenet-Gleichungen
\[ \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \\ \end{array} \right)' = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & \kappa_1 & 0 & \dots & 0 \\ -\kappa_1 & 0 & \kappa_2 & & 0\\ 0 & -\kappa_2 & 0 & & \vdots \\ \vdots & & & 0 & \kappa_{n-1} \\ 0 & & \dots & -\kappa_{n-1} & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \\ \end{array} \right) \]

Hauptsatz der lokalen Kurventheorie
\( \kappa_i \in C^{n-1-i} \) gegeben mit \( \kappa_1, \dots, \kappa_{n-2} \gt 0 \), fester Startpunkt und Start-Frenet-Bein gegeben, dann gibt es genau eine (nach Bogenlänge parametrisierte) Kurve mit Krümmungen \( \kappa_i \)

global ed

def geschlossene Kurve
Immersion \( S^1 \rightarrow \mathbb R^n \)
einfach geschlossen: Einbettung (injektiv)

def Windungszahl
\( W_\gamma = \frac{1}{2\pi} (\phi(a) - \phi(b)) \in \mathbb Z \) für die Polarkoordinate einer Kurve \(\gamma\)

def Umlaufzahl
\( U_c := W_{\dot c} \) für \(c\) geschlossen

Folgerung
\( U_c = \frac{1}{2\pi} \oint \kappa(s) ds \) für \(c\) eben, regulär, geschlossen

Hopfscher Umlaufsatz
\( U_c = \pm 1 \) für \(c\) eben, regulär, einfach geschlossen

Flächen ed

lokal ed

Parametertransformation \( \tilde f = f \circ \phi \)
\[ \tilde g = D\phi^T \, g \, D\phi \]

def Weingartenabbildung
\[ L = - D\nu \circ (Df)^{-1} : T_pf \rightarrow T_pf \]\[ L(\partial_i f) = - \partial_i \nu \]
selbstadjungiert

zweite Fundamentalform
\[ II(X, Y) = I(LX, Y) \]\[ h_{ij} = II(\partial_i f, \partial_j f) = \langle \nu, \partial_i \partial_j f \rangle = - \langle \partial_i \nu, \partial_j f \rangle \]

Krümmung einer Kurve
\[ c'' = (c'')^\textrm{tang} + \langle c'', \nu \rangle \nu \]
\( \langle c'', \nu \rangle \nu = II(c', c') \nu \) (Satz von Meusnier)
\[ \kappa^2 = \kappa_g^2 + \kappa_\nu^2 \]

def Hauptkrümmungen
Eigenwerte der Weingartenabbildung
Extremalwerte von \( II(X, X), ||X|| = 1 \)

Categories: Mathematik, Differentialgeometrie