Differentialgeometrie ed

Table of Contents

Kurven ed

lokal ed

def regulär parametrisiert
\[ \dot c eq 0 \]

def Frenetkurve
\[ c(s) \] nach Bogenlänge im \[ \mathbb R^n \], \[ C^n \]
\[ c', c'', \dots, c^{(n-1)} \] linuear unabhängig
Frenet-\[n\]-Bein \[e_1, \dots, e_n\] positiv orientiert, orthonormal
\[ \langle c', \dots, c^{(k)} \rangle = \langle e_1, \dots, e_k \rangle \] und \[ \langle c^{(k)}, e_k \rangle \ge 0 \] (z.B. Gram-Schmidt)

Frenet-Gleichungen
\[ \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \\ \end{array} \right)' = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & \kappa_1 & 0 & \dots & 0 \\ -\kappa_1 & 0 & \kappa_2 & & 0\\ 0 & -\kappa_2 & 0 & & \vdots \\ \vdots & & & 0 & \kappa_{n-1} \\ 0 & & \dots & -\kappa_{n-1} & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \\ \end{array} \right) \]

Hauptsatz der lokalen Kurventheorie
\[ \kappa_i \in C^{n-1-i} \] gegeben mit \[ \kappa_1, \dots, \kappa_{n-2} \gt 0 \], fester Startpunkt und Start-Frenet-Bein gegeben, dann gibt es genau eine (nach Bogenlänge parametrisierte) Kurve mit Krümmungen \[ \kappa_i \]

global ed

def geschlossene Kurve
Immersion \[ S^1 \rightarrow \mathbb R^n \]
einfach geschlossen: Einbettung (injektiv)

def Windungszahl
\[ W_\gamma = \frac{1}{2\pi} (\phi(a) - \phi(b)) \in \mathbb Z \] für die Polarkoordinate einer Kurve \[\gamma\]

def Umlaufzahl
\[ U_c := W_{\dot c} \] für \[c\] geschlossen

Folgerung
\[ U_c = \frac{1}{2\pi} \oint \kappa(s) ds \] für \[c\] eben, regulär, geschlossen

Hopfscher Umlaufsatz
\[ U_c = \pm 1 \] für \[c\] eben, regulär, einfach geschlossen

Flächen ed

lokal ed

Parametertransformation \[ \tilde f = f \circ \phi \]
\[ \tilde g = D\phi^T \, g \, D\phi \]

def Weingartenabbildung
\[ L = - D u \circ (Df)^{-1} : T_pf \rightarrow T_pf \]
\[ L(\partial_i f) = - \partial_i u \]
selbstadjungiert

zweite Fundamentalform
\[ II(X, Y) = I(LX, Y) \]
\[ h_{ij} = II(\partial_i f, \partial_j f) = \langle u, \partial_i \partial_j f \rangle = - \langle \partial_i u, \partial_j f \rangle \]

Krümmung einer Kurve
\[ c'' = (c'')^\textrm{tang} + \langle c'', u \rangle u \]
\[ \langle c'', u \rangle u = II(c', c') u \] (Satz von Meusnier)
\[ \kappa^2 = \kappa_g^2 + \kappa_ u^2 \]

def Hauptkrümmungen
Eigenwerte der Weingartenabbildung
Extremalwerte von \[ II(X, X), ||X|| = 1 \]

Categories: Mathematik