Differentialformen ed

...sind toll!

Definitionen ed

Der Raum sei eine differenierbare Mannigfaltigkeit M.

Der Tangentialraum eines Punktes \( p \in M \) sei \( T_p M \) . Die Menge aller Tangentialräume (das Tangentialbündel) sei \( TM := \bigcup_{p \in M} T_p M \) .

Die Menge der diffbaren Funktionen \( f : M \mapsto \mathbb{R} \) sei \( \mathfrak{F}(M) \) .

Die Menge der diffbaren Vektorfelder \( X : M \mapsto TM \) sei \( \mathfrak{X}(M) \) .

Wenn Koordinaten \( \lbrace x^i \rbrace \) gewählt wurden, bezeichnen \( \lbrace e_i \rbrace \) die Basisvektorfelder und \( \lbrace dx^i \rbrace \) die Dualbasisfelder ( \( dx^i ( e_j ) = \delta^i_j \) ).

1-Formen ed

0-Formen sind diffbare (skalare) Funktionen auf M.

1-Formen sind Dualvektorfelder, also \( ( \mathfrak{X}(M) )^\ast i \omega : \mathfrak{X}(M) \mapsto \mathfrak{F}(M) \) .

Die Basisentwicklung ist \( \omega = \omega( e_i ) dx^i = \omega_i dx^i \) . Die "Koordinaten" sind hierbei \( \omega_i \in \mathfrak{F}(M) \) .

Die Ableitung einer 0-Form ist auch eine 1-Form: \( df := ( \partial_i f ) dx^i \) bzw. \( df( X ) := X( f ) \) .