Darstellungen von Lie-Algebren ed
siehe Lie Groups, Lie Algebras and Representations - An Elementary Introduction (Brian C Hall)
Table of Contents
Grundlagen ed
- Darstellung einer Lie-Algebra \( \mathfrak g \)
- \( \pi : \mathfrak g \rightarrow Hom(V) : \pi([X, Y]) = [\pi(X), \pi(Y)] \) (Operator-Kommutator)
- Komplexifizierung
- in \( \mathfrak g_{\mathbb C} \) sind komplexe Linearkombinationen erlaubt... wenn hier irreduzibel, dann auch in der ursprünglichen
su(2) ed
Komplexifizierung: \( \mathfrak{su}(2)_{\mathbb C} \simeq \mathfrak{sl}(2, \mathbb C) \) (spurlose, komplexe 2x2 Matrizen). Letztere hat Basis
\[ H = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right), \qquad X = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right), \qquad Y = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \]
\[ [H, X] = 2 X, \qquad [H, Y] = -2 Y, \qquad [X, Y] = H \]
- Jede irreduzible Darstellung (bis auf Isomorphie) durch die Dimension bestimmt (und umgekehrt)
\( \pi(H) \) hat einen Eigenvektor \( u \) und EW \( \alpha \). Dann gilt \( \pi(H) \pi(X) u = (\alpha + 2) \pi(X) u \) (\( \pi(X) u \) entweder 0 oder neuer EV). Iterativ dann \( \pi(H) \pi(X)^n u = (\alpha + 2 n) \pi(X)^n u \). Gleiches gilt für Y mit \( \alpha - 2 \).
Da es nur endlich viele EV geben kann, muss dies irgendwann abbrechen. Letzter sei \( u_0 \) mit EW \( \lambda \). \( u_k := \pi(Y)^k u_k, \quad \pi(H) u_k = (\lambda - 2 k) u_k \). Per Induktion ergibt sich die Rekursionsformel:
\[ \pi(X) u_k = \left\lbrace \begin{array}{ll} (k \lambda - k (k - 1) ) u_{k-1} & k \gt 0 \\ 0 & k = 0 \end{array} \right. \]
Damit diese Folge bei einem Index N+1 abbricht, muss \( \lambda = N \) eine natürliche Zahl sein (und damit alle anderen EW auch).
Der Spann der u's ist invariant unter X, Y, H, also spannen sie den gesamten Darstellungsraum V auf und dieser hat Dimension N+1.