Darstellungen von Lie-Algebren ed

Grundlagen ed

Darstellung einer Lie-Algebra \( \mathfrak g \)

\( \pi : \mathfrak g \rightarrow Hom(V) : \pi([X, Y]) = [\pi(X), \pi(Y)] \) (Operator-Kommutator)

Komplexifizierung

in \( \mathfrak g_{\mathbb C} \) sind komplexe Linearkombinationen erlaubt... wenn hier irreduzibel, dann auch in der ursprünglichen

su(2) ed

Komplexifizierung: \( \mathfrak{su}(2)_{\mathbb C} \simeq \mathfrak{sl}(2, \mathbb C) \) (spurlose, komplexe 2x2 Matrizen). Letztere hat Basis

\( H = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right), \qquad X = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right), \qquad Y = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \)

\( [H, X] = 2 X, \qquad [H, Y] = -2 Y, \qquad [X, Y] = H \)

Jede irreduzible Darstellung (bis auf Isomorphie) durch die Dimension bestimmt (und umgekehrt)

$  \pi(H)  $  hat einen Eigenvektor  $  u  $  und EW  $  \alpha  $ . Dann gilt  $  \pi(H) \pi(X) u = (\alpha + 2) \pi(X) u  $  ( $  \pi(X) u  $  entweder 0 oder neuer EV). Iterativ dann  $  \pi(H) \pi(X)^n u = (\alpha + 2 n) \pi(X)^n u  $ . Gleiches gilt für Y mit  $  \alpha - 2  $ .

Da es nur endlich viele EV geben kann, muss dies irgendwann abbrechen. Letzter sei \( u_0 \) mit EW \( \lambda \) . \( u_k := \pi(Y)^k u_k, \quad \pi(H) u_k = (\lambda - 2 k) u_k \) . Per Induktion ergibt sich die Rekursionsformel:

\( \pi(X) u_k = \left\lbrace \begin{array}{ll} (k \lambda - k (k - 1) ) u_{k-1} & k \gt 0 \\ 0 & k = 0 \end{array} \right. \)

Damit diese Folge bei einem Index N abbricht, muss \( \lambda = N \) eine natürliche Zahl sein (und damit alle anderen EW auch).

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