Collatz Problem ed

Ein mathematisches Problem.... ungelöst?

Meine eigenen Gedanken dazu, damit ich sie mir nicht jedes Mal neu ausdenke

Table of Contents

Problem ed

Man fängt mit einer natürlichen Zahl n an und berechnet dann

$  n / 2  $ , falls n gerade

$  3n + 1  $ , falls n ungerade

und das rekursiv.

Die Behauptung ist, dass man über diese Verkettung von jeder natürlichen Zahl aus zur 1 kommt.

Inverses Problem ed

Problem ed

Man kann eine Menge \( M_C \) definieren als diejenigen Zahlen, bei denen der "inverse" Graph von der 1 aus vorbei kommt:

Die Frage ist dann, ob \( M_C = \mathbb{N} \)

Definitionen ed

Ein Ast geht von einer Zahl (dem Keim) aus und folgt dann nur durch Regel (1).

Der Hauptast des Graphs ist der Ast mit der 1 als Keim. Mit den durch ihn erzeugten Keimen sieht er so aus:

$ 
 \begin{array}{llll}
   1 \rightarrow 2 \rightarrow &4 \rightarrow 8 \rightarrow &16 \rightarrow 32 \rightarrow &64 \rightarrow \dots\\
                               &1                           &5                             &21
 \end{array}
$

Gedanken ed

Gedanke 1 ed

Ein Ast besteht aus dem Keim und allen seinen 2er-Potenzen

Geht direkt aus der Regel (1) hervor.

Somit muss nur gezeigt werden, dass jede ungerade Zahl als Keim auftritt.

Gedanke 2 ed

Ist ein Keim durch 3 teilbar, so erzeugt dessen Ast keine neuen Keime

Ist der Keim durch 3 teilbar, so sind auch alle Elemente n des Astes durch 3 teilbar und damit kann n+1 nicht durch 3 teilbar sein.

Gedanke 3 ed

Erzeugt ein Element eines Astes einen Keim, so erzeugt das übernächste Element einen weiteren Keim

Ein Keim n wird von einem Ast-Element der Form \( 3n + 1 \) erzeugt. Das übernächste Ast-Element ist dann \( 4 (3n + 1) = 12n + 4 = 3 (4n + 1) + 1 \) . Somit ist der neue Keim von der Form \( 4n +1 \) (das Ast-Element dazwischen erzeugt keinen Keim!)

Insbesondere sind die von einem Ast erzeugten Keime dann durch den ersten Keim und dessen durch die Regel \( n \mapsto 4n + 1 \) Kette gegeben.

Categories: Ideen