Clifford Algebren ed

Allgemein ed

Sei \(V\) ein \(n\)-dimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt. Definiere ein neues (lineares) Produkt auf \(V\) mit\[ vw + wv = - 2 \langle v, w \rangle \, . \]

Hierdurch kann eine Algebra \(\mathcal{C}l(V) = \mathcal{C}l(n)\) (die Clifford-Algebra) definiert werden, in die \(V\) und \(\mathbb R\) eingebettet sind. Um diese Algebra eindeutig zu machen, wird gefordert, dass sie die "freieste" mit diesem Produkt ist.

Es stellt sich heraus, dass ihre Dimension \(2^n\) ist und sie damit als Vektorraum mit der äußeren Algebra isomorph ist, allerdings nicht als Algebra.

Um pragmatisch zu bleiben, konkrete Beispiele:

1-dimensional ed

Sei \(n=1\). Der normierte Basisvektor in \(V\) sei \(e\). Wegen\[ ee = - \langle e, e \rangle = - 1 \]ist die Multiplikationstabelle

Mit der Identifikation \(i = e\) gilt somit \(\mathcal{C}l(1) \simeq \mathbb C\).

2-dimensional ed

Sei \(n=2\) und \(e_1, e_2\) eine ON-Basis.

Mit der Identifizierung \(i=e_1, j=e_2, k=e_1 e_2\) ergibt sich also die Quaternionen-Algebra \(\mathbb H\).

Spin-Gruppe ed

Definition ed

Die Gruppe \(\operatorname{Pin}(V) \subset \mathcal{C}l(V)\) besteht aus den Elementen der Form\[ g = v_1 v_2 \dots v_m, \qquad v_i \in V, \, \|v_i\| = 1. \]

Die Gruppe \(\operatorname{Spin}(V) \lt \operatorname{Pin}(V)\) besteht aus Elementen mit \(m\) gerade.

Zusätzlich benötigt man eine Transponier-Operation, die einfach die Reihenfolge umkehrt:\[ g^t = (v_1 v_2 \dots v_m)^t = v_m \dots v_2 v_1 \]

Die Pin/Spin-Gruppe besitzt eine Wirkung auf \(V\) durch\[ \rho(g)v = g v g^t \in V \]

Bedeutung ed

Beispielhaft:

\[ \rho(e_1) v = e_1 (\sum_k v^k e_k) e_1 = v^1 e_1 \underbrace{e_1 e_1}_{-1} + \sum_{k \gt 1} v_k \underbrace{e_1 e_k e_1}_{-e_k e_1 e_1 = + e_k} = - v^1 e_1 + \sum_{k \gt 1} v^k e_k \]

Allgemein wirken Gruppenelemente, die nur aus einem Vektor bestehen, durch Spiegelung entlang dieses Vektors. Beliebige Gruppenelemente aus Pin(V) wirken durch wiederholte Spiegelung. Damit ist \(\rho : \operatorname{Pin}(V) \rightarrow O(V)\) bzw. \(\rho : \operatorname{Spin}(V) \rightarrow SO(V)\).

Wegen \(\rho(\pm 1) = 1\) ist die Pin/Spin Gruppe jeweils eine doppelte Überlagerung der O/SO(V).

Spinor-Räume ed

Sei \(n = 2 m\) gerade.

Der komplexifizierte Raum \(V \otimes \mathbb C\) besitzt einen Unterraum \(W\), der durch die Basis\[ \eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_1 - i e_2), \eta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_3 - i e_4), \dots, \eta_m = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_{n-1} - i e_n) \]aufgespannt wird, sowie \(\bar W\), der durch\[ \bar \eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_1 + i e_2), \dots, \bar \eta_m = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_{n-1} + i e_n) \]aufgespannt wird. Es gilt\[ V \otimes \mathbb C = W \oplus \bar W \, . \]

Wird auch das Skalarprodukt von \(V\) komplex fortgesetzt, so sind die Vektoren in \(W\) und \(\bar W\) isotrop, denn z.B.\[ \langle (e_1 - i e_2), (e_1 - i e_2) \rangle = \langle e_1, e_1 \rangle - \langle e_2, e_2 \rangle - 2 i \langle e_1, e_2 \rangle = 1 - 1 - 0 = 0 \, . \]

Spinorraum \( S = \bigwedge W \)

...

(wir projizieren das Clifford-Produkt auf \(S\))

Insgesamt\[ \rho(\eta_i \bar \eta_j + \bar \eta_j \eta_i) s = \delta_{ij} s \]

Interessanterweise erhalten wir eine Metrik (Clifford-Algebra) auf einem Raum ohne Metrik (nur Grassmann-Algebra).

Zusätzlich lässt sich noch \(S = S^+ \oplus S^-\) zerlegen, mit \(S^\pm = \bigwedge^\pm W\) (gerade, ungerade Grade). Die Spin-Gruppe lässt diese Unterräume invariant, deshalb zerfällt ihre Darstellung in diese beiden Halb-Spinor-Darstellungen.

Beispiel: ℝ² ed

Das ergibt folgende Darstellungsmatrizen:\[ \rho(e_1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_2) = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \]

Außerdem\[ \rho(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_1 e_2) = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \]

Beispiel: ℝ⁴ (euklidisch) ed

Das ergibt folgende Darstellungsmatrizen:\[ \rho(e_1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_2) = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_4) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Grad 2:\[ \rho(e_1 e_2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_1 e_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_1 e_4) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\]\[ \rho(e_2 e_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_2 e_4) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_3 e_4) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Grad 3:\[ \rho(123) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(124) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(134) = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & -i & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(234) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Grad 4:\[ \rho(1234) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Halb-Spinor des ℝ⁴ (euklidisch) ed

\(S^+\) wird aufgespannt von \(1, \eta_1 \wedge \eta_2\). (Einschränkung der Matrizen aus dem letzten Abschnitt)

Darstellungsmatrizen:Grad 2:\[ \rho(12) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \rho(13) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(14) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(23) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(24) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(34) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]Grad 4:\[ \rho(1234) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

...\(S^-\) ebenso...