Clifford Algebren ed

Allgemein ed

Sei \[V\] ein \[n\]-dimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt. Definiere ein neues (lineares) Produkt auf \[V\] mit

\[ vw + wv = - 2 \langle v, w \rangle \, . \]

Hierdurch kann eine Algebra \[\mathcal{C}l(V) = \mathcal{C}l(n)\] (die Clifford-Algebra) definiert werden, in die \[V\] und \[\mathbb R\] eingebettet sind. Um diese Algebra eindeutig zu machen, wird gefordert, dass sie die "freieste" mit diesem Produkt ist.

Es stellt sich heraus, dass ihre Dimension \[2^n\] ist und sie damit als Vektorraum mit der äußeren Algebra isomorph ist, allerdings nicht als Algebra.

Um pragmatisch zu bleiben, konkrete Beispiele:

1-dimensional ed

Sei \[n=1\]. Der normierte Basisvektor in \[V\] sei \[e\]. Wegen

\[ ee = - \langle e, e \rangle = - 1 \]

Mit der Identifikation \[i = e\] gilt somit \[\mathcal{C}l(1) \simeq \mathbb C\].

2-dimensional ed

Sei \[n=2\] und \[e_1, e_2\] eine ON-Basis.

Mit der Identifizierung \[i=e_1, j=e_2, k=e_1 e_2\] ergibt sich also die Quaternionen-Algebra \[\mathbb H\].

Spin-Gruppe ed

Definition ed

Die Gruppe \[\operatorname{Pin}(V) \subset \mathcal{C}l(V)\] besteht aus den Elementen der Form

\[ g = v_1 v_2 \dots v_m, \qquad v_i \in V, \, \|v_i\| = 1. \]

Die Gruppe \[\operatorname{Spin}(V) \lt \operatorname{Pin}(V)\] besteht aus Elementen mit \[m\] gerade.

Zusätzlich benötigt man eine Transponier-Operation, die einfach die Reihenfolge umkehrt:

\[ g^t = (v_1 v_2 \dots v_m)^t = v_m \dots v_2 v_1 \]

Die Pin/Spin-Gruppe besitzt eine Wirkung auf \[V\] durch

\[ \rho(g)v = g v g^t \in V \]

Bedeutung ed

Beispielhaft:

\[ \rho(e_1) v = e_1 (\sum_k v^k e_k) e_1 = v^1 e_1 \underbrace{e_1 e_1}_{-1} + \sum_{k \gt 1} v_k \underbrace{e_1 e_k e_1}_{-e_k e_1 e_1 = + e_k} = - v^1 e_1 + \sum_{k \gt 1} v^k e_k \]

Allgemein wirken Gruppenelemente, die nur aus einem Vektor bestehen, durch Spiegelung entlang dieses Vektors. Beliebige Gruppenelemente aus Pin(V) wirken durch wiederholte Spiegelung. Damit ist \[\rho : \operatorname{Pin}(V) \rightarrow O(V)\] bzw. \[\rho : \operatorname{Spin}(V) \rightarrow SO(V)\].

Wegen \[\rho(\pm 1) = 1\] ist die Pin/Spin Gruppe jeweils eine doppelte Überlagerung der O/SO(V).

Spinor-Räume ed

Sei \[n = 2 m\] gerade.

Der komplexifizierte Raum \[V \otimes \mathbb C\] besitzt einen Unterraum \[W\], der durch die Basis

\[ \eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_1 - i e_2), \eta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_3 - i e_4), \dots, \eta_m = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_{n-1} - i e_n) \]

\[ \bar \eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_1 + i e_2), \dots, \bar \eta_m = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_{n-1} + i e_n) \]

\[ V \otimes \mathbb C = W \oplus \bar W \, . \]

Wird auch das Skalarprodukt von \[V\] komplex fortgesetzt, so sind die Vektoren in \[W\] und \[\bar W\] isotrop, denn z.B.

\[ \langle (e_1 - i e_2), (e_1 - i e_2) \rangle = \langle e_1, e_1 \rangle - \langle e_2, e_2 \rangle - 2 i \langle e_1, e_2 \rangle = 1 - 1 - 0 = 0 \, . \]

Spinorraum \[ S = \bigwedge W \]

\[ \rho(w) s = \sqrt{2} w \wedge s \]

\[ \rho(\bar \eta_1) \eta_1 = -\sqrt{2} \]

\[ \rho(\bar \eta_1) \eta_2 = 0 \]

...

(wir projizieren das Clifford-Produkt auf \[S\])

Insgesamt

\[ \rho(\eta_i \bar \eta_j + \bar \eta_j \eta_i) s = \delta_{ij} s \]

Interessanterweise erhalten wir eine Metrik (Clifford-Algebra) auf einem Raum ohne Metrik (nur Grassmann-Algebra).

Zusätzlich lässt sich noch \[S = S^+ \oplus S^-\] zerlegen, mit \[S^\pm = \bigwedge^\pm W\] (gerade, ungerade Grade). Die Spin-Gruppe lässt diese Unterräume invariant, deshalb zerfällt ihre Darstellung in diese beiden Halb-Spinor-Darstellungen.

Beispiel: ℝ² ed

Das ergibt folgende Darstellungsmatrizen:

\[ \rho(e_1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_2) = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \]

Außerdem

\[ \rho(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_1 e_2) = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \]

Beispiel: ℝ⁴ (euklidisch) ed

Das ergibt folgende Darstellungsmatrizen:

\[ \rho(e_1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_2) = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_4) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Grad 2:

\[ \rho(e_1 e_2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_1 e_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_1 e_4) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\]

\[ \rho(e_2 e_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_2 e_4) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(e_3 e_4) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Grad 3:

\[ \rho(123) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(124) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(134) = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & -i & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(234) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Grad 4:

\[ \rho(1234) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Halb-Spinor des ℝ⁴ (euklidisch) ed

\[S^+\] wird aufgespannt von \[1, \eta_1 \wedge \eta_2\]. (Einschränkung der Matrizen aus dem letzten Abschnitt)

Darstellungsmatrizen:Grad 2:

\[ \rho(12) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \rho(13) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(14) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(23) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(24) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho(34) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

\[ \rho(1234) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

...\[S^-\] ebenso...