Algebra ed

Gruppen ed

Ringe ed

def Primideal

\[ ab \in P \Rightarrow a \in P \vee b \in P \]

Lemma

\[R\] kommutativ, \[ P eq R \] prim \[ \Leftrightarrow R / P \] nullteilerfrei

def maximales Ideal

\[ M eq R \], \[ M \subseteq A \Rightarrow A = M \vee A = R \]

Lemma

\[ M eq R \] maximal \[ \Leftrightarrow R/M \] einfach

.....\[R\] Integritätsbereich

def irreduzibel

\[ p eq 0 \] nur triviale Teiler (\[ u \in R^\times, pu \])

\[ p = ab \Rightarrow a \in R^\times \vee b \in R^\times \]

def Primelement

\[ p | ab \Rightarrow p | a \vee p | b \]

Lemma

prim \[ \Rightarrow \] irreduzibel

\[p\] prim bzw. irreduzibel, dann auch alle assoziierten

Körper ed

Adjunktion

(kleinster Teilring...) \[ K[S] = \{ P(s_1, \dots, s_n) \} \]

(kleinster Teilkörper...) \[ K(S) = \{ a b^{-1} | a, b \in K[S], b eq 0 \} \simeq Q(K[S]) \]

einfache Körpererweiterung

\[ L = K(a) \], \[a\] wird als primitives Element bezeichnet

algebraische Körpererweiterung

jedes Element aus \[L\] ist algebraisch über \[K\]

Lemma

endliche Körpererweiterung \[\Rightarrow\] algebraisch

endlich \[ \Leftrightarrow \exists a_1, \dots, a_n \in L, \textrm{ alg. ueber } K : L = K(a_1, \dots, a_n) \]