Algebra ed

Gruppen ed

Ringe ed

def Primideal

\[ ab \in P \Rightarrow a \in P \vee b \in P \]

Lemma

\[R\] kommutativ, \[ P eq R \] prim \[ \Leftrightarrow R / P \] nullteilerfrei

def maximales Ideal

\[ M eq R \], \[ M \subseteq A \Rightarrow A = M \vee A = R \]

Lemma

\[ M eq R \] maximal \[ \Leftrightarrow R/M \] einfach

.....\[R\] Integritätsbereich

def irreduzibel

\[ p eq 0 \] nur triviale Teiler (\[ u \in R^\times, pu \])

\[ p = ab \Rightarrow a \in R^\times \vee b \in R^\times \]

def Primelement

\[ p | ab \Rightarrow p | a \vee p | b \]

Lemma

prim \[ \Rightarrow \] irreduzibel

\[p\] prim bzw. irreduzibel, dann auch alle assoziierten

Körper ed

def Adjunktion

(kleinster Teilring...) \[ K[S] = \{ P(s_1, \dots, s_n) \} \]

(kleinster Teilkörper...) \[ K(S) = \{ a b^{-1} | a, b \in K[S], b eq 0 \} \simeq Q(K[S]) \]

def einfache Körpererweiterung

\[ L = K(a) \], \[a\] wird als primitives Element bezeichnet

def algebraische Körpererweiterung

jedes Element aus \[L\] ist algebraisch über \[K\]

def algebraische Abschluss von K in L

\[ A(L/K) := \{a \in L | \textrm{algebraisch ueber } K \} \]

Lemma

endliche Körpererweiterung \[\Rightarrow\] algebraisch

endlich \[ \Leftrightarrow \exists a_1, \dots, a_n \in L, \textrm{ alg. ueber } K : L = K(a_1, \dots, a_n) \]

def algebraisch abgeschlossen

jedes Polynom hat Nullstelle

def algebraischer Abschluss von K

algebraisch über \[K\] und algebraisch abgeschlossen

def Zerfällungskörper von \[A \subset K[X]\]

alle \[P \in A\] zerfallen in Linearfaktoren

\[ L = K(\{a \in L | P(a) = 0, P \in A\}) \]

Lemma

\[L\] algebraischer Abschluss von \[K\] \[\Leftrightarrow\] \[L\] Zerfällungskörper von \[K[X]\] über \[K\]

konjugierte Element

die (anderen) Wurzeln des minimalpolynoms

def normale Körpererweiterung

algebraische Erweiterung mit...

(=) Zerfällungskörper einer Teilmenge von \[K[x]\]

(=) \[\phi(L) = L\] für jeden \[K\]-Monomorphismus \[ \phi : L \rightarrow \bar L \]

(=) jedes irreduzible Polynom aus \[K[X]\] mit einer Wurzel in \[L\] zerfällt

(=) für jedes Element sind auch die konjugierten in \[L\]

def normale Hülle von L/K

kleinste Erweiterung von \[L\], so dass \[N/k\] normal

bis auf \[K\]-Isomorphismen eindeutig

(wähle Zerfällungskörper aller Polynome mit Wurzel in \[L\])